GPS

(bagian 2)

Gunakan 4 buah satelit!

Artikel ini ditujukan kepada anda yang masih ingin tahu lebih jauh tentang cara kerja GPS. Ini adalah tulisan saya yang kedua yang membahas bagaimana cara kerja GPS. Bila anda belum membaca atau sudah membaca tapi lupa dengan tulisan saya yang pertama. silahkan baca dahulu sebelum membaca artikel ini.

Telah kita maklumi bahwa penerima GPS dapat mengetahui posisi dimanapun kita berada. Hal ini disebabkan karena tempat kedudukan dan jarak satelit ke penerima GPS dapat diketahui. Kemudian melalui proses trilaterasi posisi penerima dapat dihitung.

Untuk memudahkan perhitungan, Posisi dinyatalam dalam koordinat x, y, x. Inilah rumus untuk menghitung posisi penerima GPS

(x - x1)2 + (y - y1)2 + (z - z1)2 = (C.tp1)2 .....................(1a)
(x - x2)2 + (y - y2)2 + (z - z2)2 = (C.tp2)2 .....................(1b)
(x - x3)2 + (y - y3)2 + (z - z3)3 = (C.tp3)2 .....................(1c)

dari persamaan 1 dapat dicari koordinat lokasi penerima GPS yaitu x, y , z. dimana:

xi, yi, zi adalah koordinat satelit ke i

C adalah kecepatan cahaya

tpi adalah waktu yang dibutuhkan oleh sinyal dari satelit ke i sampai ke penerima

C.tpi adalah kecepatan cahaya dikalikan dengan waktu atau sama dengan jarak dari satelit i ke penerima. Jarak tersebut kita nyatakan sebagai ri. Sekarang persamaan (1) dapat ditulis sebagai:

(x - x1)2 + (y - y1)2 + (z - z1)2 = r12 .....................(2a)

(x - x2)2 + (y - y2)2 + (z - z2)2 = r22 .....................(2b)

(x - x3)2 + (y - y3)2 + (z - z3)3 = r32 .....................(2c)

Barangkali diantara pembaca ada yang sudah lupa dengan pelajaran Matematika ketika duduk dibangku sekolah. Karena itu bertanya-tanya dalam hati : "persamaan apakah itu?" Mari kita mengingat-ingat kembali. Persamaan diatas adalah tak lain adalah persamaan Phytagoras yang diterapkan padaruang 3 dimensi.

Dalil Phytagoras


Dalil Phytagoras digunakan untuk mencari posisi penerima GPS

Anda mengenal Phytagoras bukan? Si penemu dalil pada segitiga siku-siku. Phytagoras adalah orang Yunani yang hidup lebih dari 2 ribu tahun yang lalu (sebelum nabi Isa lahir). Hebat ya Pytagoras ini, Walaupun ilmunya sudah sangat kuno tapi masih dipakai sampai masa kini, di zaman Post Modern! Perhitungan posisi dengan GPS dimungkinkan karena kita menggunakan dalil Phytagoras ini.

Pada persamaan (2) diatas ada 3 variabel yang tidak diketahui besarnya yaitu x, y, z. Persamaan tadi mempunyai jawaban yang unik, karena ada 3 variabel yang tidak diketahui dan ada 3 persamaan. Anda masih ingat dalil pada aljabar bukan? Agar suatu system persamaan mempunyai jawaban yang unik jumlah variabel dan jumlah persamaan harus sama. Misalnya ada 10 variabel, maka jumlah persamaanya harus 10 juga.

Menyelesaikan persamaan dengan dengan banyak variabel sangatlah berat, kalau menggunakan pinsil dan kertas. Persamaan yang sangat berat ini bukanlah masalah bila menggunakan komputer. Hanya saja memerlukan programer komputer yang cukup terampil untuk menulis program yang sesuai. Komputer yang ada pada penerima GPS lah yang akan memecahkan persamaan tadi. Kiranya tak perlu dibahas secara detail bagaimana memecahkan persamaan tersebut sekarang. Mungkin pada kesempatan lain akan kita bahas.

Besaran tpi disebut waktu sejati atau "proper time". Untuk mengukur "waktu sejati" jam pada satelit dan penerima GPS haruslah serempak. Karena sedemikian besarnya kecepatan cahaya, Kesalahan jam tidak boleh lebih besar dari 0.00000001 detik. Tak ada jam yang kita kenal dalam kehidupan sehari-hari yang sanggup melakukan tugas tersebut. Kecuali jam atom yang berharga puluhan milyar rupiah. Ketahuilah satelit GPS dilengkapi dengan jam atom. Jam atom ini sangat mahal, jadi penerima GPS akan sangat mahal pula. Kenyataanya harga penerima GPS "cuma" beberapa juta rupiah. Jam pada pada penerima GPS adalah jam digital biasa. Jadi persamaan (2) secara praktis tidak dapat digunakan sehubungan dengan jam murah pada penerima tidak dapat dibuat benar-benar serempak dengan jam pada satelit.

Katakanlah jam pada penerima GPS dan jam pada penerima satelit berselisih waktu (bias) sebesar b maka akan berlaku :

tpi = ti + b

tpi = waktu sejati
ti = waktu terukur (waktu semu)
b = kesalahan jam.

Sekarang besaran yang tidak diketahui ada 4 buah. Posisi penerima x, y, z dan selisih waktu b. Menurut teori aljabar, diperlukan 4 buah persamaan agar besaran-besaran yang tidak diketahui tersebut dapat dipecahkan. Untuk maksud tersebut digunakanlah satelit ke 4.

(x - x1)2 + (y - y1)2 + (z - z1)2 = (C.[t1+ b])2 ...............(3a)

(x - x2)2 + (y - y2)2 + (z - z2)2 = (C.[t2+ b])2 ...............(3b)

(x - x3)2 + (y - y3)2 + (z - z3)2 = (C.[t3+ b)2 ...............(3c)

(x - x4)2 + (y - y4)2 + (z - z4)2 = (C.[t4+ b)2 ...............(3d)

Persamaan (3) dapat juga ditulis sebagai

(x - x1)2 + (y - y1)2 + (z - z1)2 = r12 .........................(4a)

(x - x2)2 + (y - y2)2 + (z - z2)2 = (d2 + r1)2 ...............(4b)

(x - x3)2 + (y - y3)2 + (z - z3)2 = (d3 + r1)2 ...............(4c)

(x - x4)2 + (y - y4)2 + (z - z4)2 = (d4 + r1)2 ...............(4d)

dimana r1 adalah jarak dari satelit pertama r1 = C.(t1 + b)

di adalah selisih jarak: d2 = C.(t2 - t1), d3 = C.(t 3 - t1), d4 = C.(t4 - t1).

ti adalah waktu terukur (waktu semu)

Ada 4 variabel yang tidak diketahui, posisi dari lokasi x, y, z dan jarak satelit pertama r1. Variabel tersebut dapat kita ketahui dengan memecahkan persamaan (4). Hebat!! ini adalah cara yang jenius. Ternyata dengan 4 buah satelit, penerima GPS tidak perlu jam atom yang kelewat mahal tersebut. Dan kitapun boleh membeli penerima GPS dengah harga yang "murah". Cukuplah satelit yang membawa jam atom. Ada banyak sekali satelit GPS (24 buah) yang mengorbit bumi. Ini menjamin dimanapun didunia sedikitya ada 4 satelit (line of sight) yang terlihat..

Masalah GPS dalam 2 dimensi

Agar mudah memahami, kita bisa membuat tafsiran geometri dari persamaan (4). Marilah kita mempersempit masalah yang asalnya 3 dimensi menjadi 2 dimensi semata-mata agar mudah digambar. Angaplah bumi bukan bulat melainkan bundar seperti uang logam. Pada masalah GPS 2 dimensi, hanya perlu 3 satelit.

Tempat kedudukan dari penerima berada pada lingkaran dimana jari-jari lingkaran adalah jarak. Jari jari lingkaran besarnya tidak diketahui. Akan tetapi besarnya jari-jari lingkaran saling bergantung satu sama lain menurut persamaan r2 = r1 + d2, r3 = r1 + d3 (lihat persamaan (4)). Tepat kedudukan penerima adalah apabila ketiga lingkaran saling berpotongan dalam satu titik. Kita bisa melukis tempat kedudukan lokasi dengan metoda trial-error (coba salah). Kita bisa memulai dengan harga r1 yang kecil. Lukislah tiga buah lingkaran dengan jari jari r1, r2 dan r3. Apabila lingkaran-lingkaran tersebut belum berpotongan dalam satu titik, coba lagi dengan jari-jari yang berbeda sampai 3 buah lingkaran tersebut berpotongan dalam 1 titik (galat = 0). Titik tersebut adalah tempat kedudukan penerima.

Malasah GPS dalam 2 dimensi

Silahkan anda mencobanya pada animasi dibawah ini. Sebelum memulai posisi satelit (lingkaran kuning, biru, merah) dapat anda ubah dengan metoda "clik and drag" yaitu arahkan pointer pada posisi satelit. Tekan tombol-kiri mouse, tahan tombol tersebut, kemudian geser satelit pada posisi yang dikehendak. Lepas tombol mouse. Selanjutnya tekan tombol "lanjut" beberapakali sampai perhitungan selesai!

Maaf Anda tidak bisa melihat animasi. Browser anda tidak mendukung html5. Silahkan download Google Crome atau Mozilla Firefox

Skenarionya adalah sebagai berikut. Posisi lokasi ada pada koordinat x = 240, y = 288. Komputer diperintahkan untuk mencari posisi tersebut dengan cara mendengar satelit. Setelah mendengar sinyal dari satelit komputer mengetahui selisih jarak d2 dan d3. Berdasarkan hal tersebut komputer melakukan trial-error mencari besarnya r1. Mula-mula jari-jari lingkaran kecil, kemudian semakin membesar. Suatu saat semua lingkaran berpotongan dalam satu titik (galat = 0). Disanalah lokasi berada yakni pada xc =240 dan yc = 288.

Catatan: Kemungkinan programer komputer tidak akan menyelesaikan persamaan GPS dengan cara trial-error seperti animasi diatas (tidak efisien). Programer akan memilih menyelesaikan secara langsung dengan ilmu aljabar. Sekian semoga dapat dipahami dan bermanfaat.

Sumber: en.wikipedia.org


Komentar:

wiwik(2017-01-09 22:38:07)

Bagus yah masyaallah, semoga bermanfaat. sering sering share ilmu yang seperti ini..


Silahkan tulis komentar anda: